積分

高校数学には様々な格言がある。例えば、整数問題→絞り込め難しい極限→挟みうち大小比較→差を取れ似たような問題→方法を真似よなど、もはや名言と呼ばれるものもある。ところが、これらには例外もあり、その一つには、似たような問題→方法を真似よ、に対して、数Ⅲの積分、だろう。以下4つの積分は皆そっくりだが、方法は4つとも全く異なる。①は、置換積分、x=sinθ、と置いて解く。ただし、被積分関数が半径1の半円なので、さらに半分のπ/4が答えと瞬時にわかる。②は、①の−

東京大学大学院・数理科学研究科(2018年改)さすがのファインマンの積分トリックも、ここでは楽ではない。マジックショーで例えれば、鉄格子内からの爆破脱出イリュージョン並み？解I(t)=∫₀∞sin³ｔｘ/ｘ³·dxとおく。I'(t)=∫₀∞3ｘsin²ｔｘcosｔｘ/ｘ³·dx=3∫₀∞(1−cos²ｔｘ)cosｔｘ/ｘ²·dx展開後３倍角の公式で整理し、=(3/4)∫₀∞(costx−cos3tx)/x²·dx··①また、