微分方程式

2017年気象大学校・全学部数学第3問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは，まずは偉人の言葉からです『微分方程式は……理論の重要な諸結果を含むものである.きわめて正確で一般的なやり方で,広範な種類の(物理的な)現象に対する数量的な分析の必然的な関係を表し,さらに自然哲学の

2020年東京学芸大学数学第Ⅳ問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『数学に関するあらゆる学科のうちで,微分方程式の理論が最も重要である……それは時間とともに変化するすべての基本的な自然現象についての説明を与えてくれる．』（Ｓ・リー，ノルウェーの数学者，1842-1899）超頻出の“積分方程式”

微分方程式って自然現象や社会現象を説明するツールとして有用。その事はかつて佐藤総夫「自然の数理と社会の数理Ⅰ、Ⅱ」で興味深く読んだ。理解レべルは心許ないけど面白かった。笠原晧司の本は部屋の片隅に積んだ埃を被ったまま21世紀になった。それから遥かなる時を経て微分方程式を学んでみた。今回は放送大学のテキストを使った。これは1回ごとの講義テーマがハッキリしているのが良いと信じて始めた。頭の整理として簡単にメモしておく。【立ち位置】そもそも解析の基礎が判らない事にはここに至れない訳で、時間は掛

大学入試センター試験・物理(2015年)面白い振り子の問題。ただし、高校生的には、公式T=2π√l/gより、周期は質量に無関係なので1倍、と解くので、面白くも何ともない。上記公式を知らないものとし、ニュートンの第2法則から解くのが、面白い。解けない微分方程式、に対する方策にも注目。俺の答えsinθ=θ(θが小さいとき)の近似について。

前回同様、ばねの運動が、のように、繰り返しのsin波になるのは、あくまでも、空気抵抗を無視した場合に限る。実際は、いつまでも振動している訳では無く、振動の幅が少しずつ減少しつつ、やがてつりあいの位置で停止するであろう。その旨を数学的に説明しよう。空気抵抗は、その時の速度vに比例した、力である。比例定数bを用い式にすれば、bvだから、全記事同様、ニュートンの第2法則より、md²y/dt²＝mg−kL−ky−bv、で、v=dy/dtより、m·d

ばねの運動(単振動)に関する高校物理の参考書⑶の式は、何故そうなるのか?高校物理では解説されない、図のグラフが何故sin波なのかも。単に公式が与えられているだけ。その根拠は、微分方程式の解で解決される。⑶の誘導質量mの重りを付けてからのばねの長さの増分をLとすると、フックの法則と重力のつりあいから、mg＝kL···①(kは正の定数)また、つりあいの位置を0とし、そこからの変位をyとしてニュートンの第2法則より、md²y/dt²＝mg−kL−ky、こ

容疑者xの献身、での湯川と石神(数学教師)の会話今は高校で微分方程式を教えていない。(教科書には、発展、として触れているが)俺の高校時代は教わった。『あれを学べば物理との関係がよく分かるのに···』という発言が意味する内容とは、如何に。高校物理では、最初に物体の運動を学ぶ。まず、等速直線運動、いわゆるキハジの法則として算数から登場するアレ。次に、等加速度直線運動、速度が一定の割合で増加(減速)していく運動、例えば真空中の自由落下運動。そして高

東京大学大学院・理(数学科)(2021年)東大数学科院試の微分方程式、とのこと。さて、どう解くか?教科書に、級数による解法、というのがある。万能ではないが問題によっては、かなり有効な手法、とある。これを用いてみよう。俺の答え検算(一般解)

ネット拾い問題俺の答え―――――――――――――――左辺が1になるには、以下の3パターンがある。①底の部分が1のケースx²−9x+19=より、x=3,6②肩が0のケースx²+x−56=0より、x=−8,7③底が−1かつ肩が偶数のケースx²−9x+19=−1より、x=4,5このときの肩は−36,−26でいずれも偶数。以上より、x=−8,3,4,5,6,7が答え。―――――――――――――――

ニュートンの運動方程式、ma=F···①質量×加速度=力力学的エネルギー保存の法則、(1/2)mv²＋mgh=E(一定)運動エネルギー＋位置エネルギー=一定共に高校物理で習うが、その繋がりは教わらない(はず)。鉛直方向に位置hを定めると、mg=−Fg=dv/dtより①は、m·dv/dt=−Fここで、dv/dt=(dh/dt)(dv/dh)=v·dv/dhより、①は、mv·dv/dh=−Fm∫vdv=−F∫dh···②(1/2)mv²=−

数学検定１級一次特殊な形の微分方程式。こういうのは、dy/dx=p、とおくと、見通しがよくなる。さらに、dp/dx=pdp/dy、とするところが大きなポイントで、pはyの関数とみなせることで、式がごく単純な一階の微分方程式に帰着する。俺の答え時間があれば必ず検算する。これで(初期条件の扱いがミスってない限り)正解が約束された。

微分方程式、y'+y=sinx、を解け。俺の答え―――――――――――――――同次型y'+y=0の解は、y=Ce−x···①ここで、任意定数Cをxの関数C(x)とみなし、y=C(x)e−xとすると、y'=C'(x)e−x−C(x)e−xこれらを与式に代入すれば、C'(x)e−x=sinxC(x)=∫exsinxdx=ex(sinx−cosx)/2+Cこれと①より、y=(sinx−cosx)/2＋Ce−x、(Cは任意定数)―――――――――――――――

早稲田大学、改題Aは、同次型、と呼ばれる微分方程式。同次型微分方程式は、高校の旧指導要領から外れている(大学で習得する)。しかし、誘導⑴があるので、ギリギリセーフ？俺の答え―――――――――――――――⑴y=xzより、dy/dx=z+xdz/dxこれをAに代入すると、z+xdz/dx=y/x＋2x²=z＋2x²∴dz/dx=2x···①⑵①より、∫dz=∫2xz=x²+Cy/x=x²+Cだから、y=x³+xC。(Cは任意定数)――――――

ネット拾い問題改題文章から微分方程式を立式したもの。この式はベルヌイの微分方程式、といわれる。解いて体重を時間の関数で表わせば、魚の成長過程が一目瞭然に判るはず。俺の答え―――――――――――――――y=x1/3···①とおくと、dy/dx=1/3x2/3∴与式は、3x2/3dy/dt=ay²−by³左辺3y²dy/dtだから、与式は、3dy/dt=a−by3∫dy/(a−by)=∫dt−(3/b)log|a−by|=t+C₁a−by=C₂e−

ネット拾い問題人の噂も七十五日、というが、噂の拡散に比べれば、長いものですな。俺の答え

自作問題ペヤングで有名な、まるか食品、は昔から無借金経営でも有名で、かつては金利だけで従業員の給与を賄えたという。いやはや古き良き時代、といいたいが、借金する側は大変だった。住宅ローン、地獄だな。俺の答え―――――――――――――――時間t年、80年の預金G、18年の預金g、任意定数C、とする。題意より、dG/dt=0.04Gdg/dt=0.00001g∫dG/G=0.04∫dG、∫dg/g=0.00001∫dglogG=0.04t+cl

灘中学校俺の答え大した時間もかからず解けたが、美しくない。他にやり方があるかも。

実話でなかったとしても心にずしりとくる話いつもご覧くださる皆様、本当にありがとうございます。心から感謝致します。皆様にとって良い事がたくさんありますように！家族から聞いてさっそく確認した動画で、実話ではないとはいえ、心にずしりときたので書いておきます。ハーバード大学で清掃員として働きながらも数学の研究をひそかに続け、最後は教員になった三好春子さんという70歳の女性の話です。春子さんは東大で数学を

このところ、ずっと微分方程式の勉強をしています。そもそもの始まりは、昔に買った「インフィニティ・パワー」という本です。この本は「万物の現象を表す方程式である微分方程式には、無限の力がある」という内容なのです。少し読み進んだのですが、ここで、自分に微分方程式の数学的な知識が全くないことに気づきました。そもそも、高校で勉強していないので、イメージが湧いてこないのです。仕方なく、百歩下がって、基礎から勉強するために、まず、読み物として下の本を読みました。著者は飽本（あきも

なかなか面白い微分方程式ですね。俺の答え―――――――――――――――y"/y'＝−cosx/sinxlog|y'|=−log|sinx|+logC₁y'=C₁/sinx∴y=C₁∫dx/sinxt=tan(x/2)とおくと、sinx=2t/(t²+1)、dx=2dt/(t²+1)∴y=C₁∫dt/t=C₁log|tan(x/2)|+C₂(C,₁C₂は任意定数)―――――――――――――――1行目→2行目の変形は、対数微分法の逆バージョン。解が出たら

成城中学校(2021年)算数受験の経験が無いので詳しくは分からないが、キハジ、や、ミハジ、で解くのか?キョリ(ミチノリ)＝ハヤサ×ジカン頭文字を取って、キハジ。しかし、キハジを知らない児童さんは以下がオススメ(嘘)。俺の答え―――――――――――――――xを家からの距離(m)、時間を8時t分とする。⑴xはケイスケの歩行距離題意より、微分方程式dx/dt=80が成り立ち、変数分離し両辺を積分することでこれを解くと、∫dx=80∫dtx=80t

膝が少し痛くなってきたので、早朝ランニングは休みました。その時間を使って、「線形代数」前回、参考書を開いたのはいつのことだったろう？思い出せません。それでも、チラチラと前のページを見ながら解いてみました。やり方が記憶に残っていてよかったです。次やるのも、雨の日になりそうです。「線形代数」があまり面白くないので(面白さがまだわからない段階かもしれません)、「微分方程式」をやってみようと思ったのですが、こちらも片手間にはできないような感じ(当たり前ですね)。話は変

大阪大学大学院・情報基礎数学(2021年)俺の答えどこもかしこも、似た問題。。。

早稲田大学・理工(2020年)受験生のほぼ全員が白紙解答だったらしい。その原因は前回記事の通り、最近はみかけないタイプだから。つまり本問は前回の類題である(水の入出流の微分方程式問題)。かつては東大京大後期など難関校ではたまに見かけたが、近年は本当に珍しい。油断も隙もない。微分積分の面白さ全開問題なのにね。俺の答え⑴、毎秒一定量水が流入で水位が一定速度で上昇するのは、水面面積が一定の立体、つまり本問では円柱→半径がどの高さでも一定、とどのつまり

東京大学・理(1934年)必要な数量(比例定数と半球の半径)が問題文に無い。自分で設定するということ？昔と今の違いか？一応、比例定数k、半球の半径r、としました。俺の答えかつては、難関校でたまにみかける微分方程式の文章題。現在では指導要領の関係で、ほとんど目にしないタイプ。敢えて答え合わせしていません、違っていたらゴメンナサイ。

数学検定１級・二次(2019年秋)↓ちょっと古いけど、小学生が数検１級合格したという新聞記事発見！こちらをクリック今の子供達、立派ですね～年齢とか関係なく尊敬します！昔の子供(俺)も負けられない。···で、ご覧の通りその新聞記事に問題例が1問オマケっぽく、くっついているので、チャレンジします(笑)定数係数4階線形微分方程式非同次型、と呼ばれるモノ。俺の答え大学の教科書例題レベルで、この問題例は決して難しくない。ラプラス変換は愚策です。そ

数学は、色んな分野で道具として使われている。工学が料理なら、数学は包丁だ。その中でも、微分積分法は、スゴい発明だと思う。あらゆる分野で使われている。この学問で、秀逸だな、と感心するのは、無限とか、極限の概念だ。極限値は高校で習うが、lim(1/x)[x→∞]=0とかいうやつだ。これは1/xのxを∞まで大きくしていったら、極限値は0ですということ。1/xのxを限りなく大きくしていくと、1/xは限りなく0に近づいて行く。だけど決して0にはならない。しかしそこを、0を目標にして

ダイナミクス（動的システム）は、時間とともに変化するシステムを理解するための重要な概念です。本記事では、初心者向けにダイナミクスの基本用語や使い方について詳しく解説します。ダイナミクスとは何かダイナミクスは、時間とともに変化するシステムの挙動を研究する分野です。これには物理的なシステム、経済システム、生態系など、さまざまな領域が含まれます。ダイナミクスを理解することで、システムの未来の状態を予測したり、最適な制御方法を見つけたりすることが可能になります。動的システムの基本概念動的システム

ダイナミクスと線形システムについて、初心者にもわかりやすく解説します。本記事では、基本的な用語や概念、実際の使い方について詳しく説明します。ダイナミクスと線形システムの基本概念ダイナミクスとは、時間に対するシステムの変化を扱う分野です。物理学や工学、経済学など様々な分野で用いられます。特に、システムの挙動を数学的にモデル化することで、予測や制御が可能になります。線形システムは、入力と出力の関係が線形であるシステムです。これは、入力が二倍になると出力も二倍になるという性質を持っています。線形

ダイナミクスと数値解析は、物理現象や工学問題を解決するための重要な手法です。本記事では、初心者向けにその基本的な用語解説と使い方を詳しく説明します。ダイナミクスと数値解析の完全ガイドダイナミクスとは、物体の運動や力の関係を研究する分野です。物理学の基礎に根ざし、物体がどのように動くのか、またその動きに影響を与える力について考察します。数値解析は、数学的なモデルをコンピュータを使って解くための手法で、特に複雑な問題に対して有効です。ダイナミクスの基本的な用語には、質量、力、加速度、運動量、エ