解答

[答2154]３元連立方程式1/x＋1/(y＋z)＝1/18，1/y＋1/(z＋x)＝1/3，1/z＋1/(x＋y)＝1/5のとき(x，y，z)＝？[解答1]一般化し、1/x＋1/(y＋z)＝1/a，1/y＋1/(z＋x)＝1/b，1/z＋1/(x＋y)＝1/cとします。また、x＋y＋z＝2tとおけば、1/x＋1/(y＋z)＝1/aより、(y＋z＋x)/{x(y＋z)}＝1/a、xy＋yz＝a(x＋y＋z)、xy＋zx＝2at、同様にyz

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[答2153]無理方程式２題次の無理方程式の実数解は？(1)9x2－12x－4＝2√(6x＋4)(2)9y2－12y－422＝211√(633y＋4)[解答1](1)9x2－12x－4≧0，6x＋4≧0だから、－2/3≦x≦(2－2√2)/3，(2＋2√2)/3≦xです。２乗して、(9x2－12x－4)2＝4(6x＋4)、81x4－216x3＋72x^2＋96x＋16＝24x＋16、81x4－216x3＋72x^2＋72x＝0、9x4

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昨日の問題は、問題）絵をよく見てください。この県はどこの県でしょう。解答）答えは埼玉県です。「ま」が咲いているので、咲いた「ま」→さいたまでした。今回はわかった方がたくさんいましたね。簡単だったみたいですね。私が考えた解答は群馬県「ま」がたくさん群れているので、群れ「ま」→群まだと思ってしまったのです。でもそれだと、まが花で咲いている意味がつながらないですよね。いまいち弱い答えでしたね。正解を見て、納得しました。皆さん、考えてくれてありがとうございま

またまたクイズを出題します。問題）絵をよく見てください。この県はどこの県でしょう。今回、私が自信を持って出した解答は間違いでした。確かに私の解答も一理あるのですが、答えを見たら、答えの方が納得いくものでした。夫と息子はすぐに正解わかりました。簡単みたいです。わかった方はコメント欄にわかったとだけ書いて、解答は書かないでくださいね。解答は明日のブログで発表しますね。では、皆さん、考えてみてね。

[答2152]自然数であるものの個数と和数列｛n/[4√n]｝(n＝1，2，3，……，58－1)のうち、自然数の項の数をN，自然数の項の総和をSとするとき、(N，S)＝？[解答]kを自然数として、k4≦n＜(k＋1)4のとき[4√n]＝kだから、k4/k≦n/[4√n]＜(k＋1)4/k、k3≦n/[4√n]≦k3＋4k2＋6k＋4、このうち、自然数はk3，k3＋1，k3＋2，k3＋3，……，k3＋4k2＋6k＋4の4k2＋6k＋5個

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[答2151]漸化式で表された数列数列｛an｝があり、a1＝8，an+1＝(353an－4)/(an＋349)(n＝1，2，3，4，……)が成り立つとき、一般項anをｎの式で表すと、an＝？また、a2267を小数で表すとき、整数部分を含めて小数第1670位までの数字の和は？[解答](特性方程式a＝(353a－4)/(a＋349)の解はa＝2(重解)なので、)an+1－2＝(353an－4)/(an＋349)－2＝(353an－4－2an－6

[答2150]自然数の組の個数m，nを11＜m＜nを満たす自然数とします。a≦11，b≦m，c≦n，a＜b＜cを満たす自然数の組(a，b，c)が5995組あるとき、(m，n)＝？[解答]b＝1，2，3，4，……，mに対し、aは、b≦12のとき(b－1)通り，b≧13のとき11通りあり、cは(n－b)通りあるので、(a，c)の組はb≦12のとき(b－1)(n－b)通り，b≧13のとき11(n－b)通りあります。(b－1)

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[答2149]３元３次連立方程式x(x2－yz)＝－21，y(y2－zx)＝7，z(z2－xy)＝30をすべて満たす実数の組(x，y，z)＝？[解答]x3＝xyz－21，y3＝xyz＋7，z3＝xyz＋30を辺々乗じて、x3y3z3＝(xyz－21)(xyz＋7)(xyz＋30)、x3y3z3＝x3y3z3＋16x2y2z2－567xyz－4410、16x2y2z2－567xyz－4410＝0、(xyz－42)(16xyz＋105)＝0、xyz＝

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昨日の問題は問題）絵をよく見てください。このひらがな５文字は何を表しているのでしょう。解答）う（上）、ひ（左）、ま（真ん中）、み（右）、し（下）それぞれのひらがなは、位置を表す文字でした。今回はちょっと難しかったけど、わかった方が多かったです。皆さん、さすがです。クイズに強いですね。また、楽しいクイズがあったら出題しますね。

[答2148]正七角形と長さ１辺が7√2＋2√7の正七角形ABCDEFGの対角線BF，CGの交点をPとするとき、PD＝？[解答1]正七角形の１つの外角は2π/7であり、外接円を考えれば、弧BCの円周角∠CFB＝π/7です。正七角形ABCDEFGの１辺の長さをaとし、π/7＝θとします。また、座標平面上で、D(0，0)，E(a，0)，F(a＋a･cos2θ，a･sin2θ)，P(a/2，p)とします。BFの傾きは－tanθだから、BFはy－

またまたクイズを出題します問題）絵をよく見てください。このひらがな５文字は何を表しているのでしょう。今回はちょっと難しいかな。私は１５分くらい考えてわかりました。夫は１週間くらい考えて、やっとわかりました。わかった方はコメント欄にわかったとだけ書いて、解答は書かないでくださいね。解答は明日のブログで発表します。では、皆さん、考えてみてね。

[答2147]２つの内接円△ABCの辺BC上に点Dがあり、AD＝23，BD＝4，CD＝30であり、△ABDの内接円と△ADCの内接円とが外接するとき、(AB，AC)＝？また、２つの内接円の半径の比は？[解答]A，B，C，Dと内接円との接点との距離をそれぞれa，b，c，dとすれば、AB＝a＋b，AC＝a＋c，AD＝a＋d＝23，BD＝b＋d＝4，CD＝c＋d＝30ですので、AB＋CD＝a＋b＋c＋d＝AC＋BD、AB＋30＝AC＋4、AC

[答2146]平面の分割と空間の分割平面をｎ本の直線で最大f(n)個の領域に、空間をｎ枚の平面で最大g(n)個の領域に分割できるものとすると、図のように、f(3)＝7，g(3)＝8です。では、f(65)＝？また、g(65)＝？領域の数が最大になるのは、次の場合です。・平面を直線で分割する場合は、平行な直線がない，３本以上の直線が１点で交わらない・空間を平面で分割する場合は、平行な平面がない，平行な交線がない，４枚以上の平面が１点で交わら

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[答2145]64次方程式64次方程式65x64＋64x63＋63x62＋62x61＋61x60＋……＋3x2＋2x＋1＝0の解をa1，a2，a3，a4，a5，……，a63，a64とし、A＝(1－1/a1)(1－1/a2)(1－1/a3)(1－1/a4)(1－1/a5)･……･(1－1/a63)(1－1/a64)，B＝(1＋1/a1)(1＋1/a2)(1＋1/a3)(1＋1/a4)(1＋1/a5)･……･(1＋1/a63)(1＋1/a64)として、(A，B)

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[答2144]分数式の値が自然数n，(128n8－1)/(3n＋1)がともに自然数であるとき、n＝？[解答]3と3n＋1は互いに素なので、38と3n＋1は互いに素になり、128n8－1が3n＋1の倍数⇔38(128n8－1)が3n＋1の倍数です。3n＝xとおくと、38(128n8－1)＝128x8－38＝128x8－6561、ｘの整式として128x8－6561をx＋1で割った余りは128(－1)8－6561＝－643

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[答2143]最小値A，B，Cを正の定数，x，y，zを正の変数とし、ByCz＝CzAx＝AxBy＝ABCが成り立ち、16x＋49y＋961zの最小値が存在するとき、16x＋49y＋961zの最小値は？また、そのときの(x，y，z)＝？[解答]ByCz＝CzAxよりAx＝By，CzAx＝AxByよりBy＝Cz、よって、Ax＝By＝Cz、ByCz＝CzAx＝AxBy＝ABCだから、A2x＝B2y＝C2z＝ABC、A＝1，B＝1

[答2142]２つの半円ABを直径とする半円の弧上にC，Dがあり、CDを直径とする半円とABが点Tで接しています。AB＝63，CD＝42であるとき、AT＝？[解答1]xy平面上で、A(－63/2，0)，B(63/2，0)，T(t，0)とすれば、半円ABはx2＋y2＝632/22であり、半円CDを(x－t)2＋(y－21)2＝212とします。x2＋y2＝632/4，x2＋y2－2tx－42y＋t2＝0を連立させて、632/4－2tx－42y＋t2

[答2141]外心・内心・垂心AB＝AC≠BCの△ABCの外心をO，内心をＩ，垂心をHとします。OI：IH＝21：41のとき、AB：BC＝？また、四角形HBOC/△ABC＝？[注意]0ﾟ＜∠BAC＜60ﾟ，60ﾟ＜∠BAC＜90ﾟ，∠BAC＝90ﾟ，90ﾟ＜∠BAC＜180ﾟの場合によって、A，O，I，Hの位置関係が変わりますので、絶対値を有効に活用します。[解答1]a＞0，b＞0とし、座標平面上でA(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，