整数解

第1問です．整数の標準的な問題です．不等式で絞り込む問題は演習済みでしょう．＊）北大理系標準レベルです．

第6問です．(2)は論理を詰めるのが難しいです．＊）このタイプの問題は北大では出題されないでしょう．＊）ここ20年程度の東大理科の出題をみても，かなり解きやすい部類のセットだといえます．過去問の解法パターンが有効な問題が多かった印象です．

医学部医学科で出題された数学の問題を検討します．週5問（月～金）を目安にしています．2022名市大医数学第1問です．典型パターンで，経験済みの受験生が多いでしょう．＊）(1)やや易，(2)標準，(3)やや易＊）典型すぎる出題です．北大では接線の問題も含めて出題される可能性があります．

単科医大，もしくは入試問題が学部別になっている大学の問題を，1題ずつランダムに検討していきます．週５問（月～金）を目安にしています．2023群馬大医第2問です．(2)では(1)を利用するように式変形します．(1)やや易，(2)標準＊）札医・旭医ですと，(2)単独で出題されてもおかしくない問題です．

第1問です．解きやすい問題です．(1):易，(2):やや易，(3):やや易＊）共テの数ⅠAの選択問題よりも解きやすいと感じたことでしょう．

第2問です．基本パターンの組み合わせで処理できる問題です．(1)やや易，(2)標準，(3)やや易

[答1766]整数解の個数(1)|x|＋|y|＋|z|＝21を満たす整数の組(x，y，z)の個数は？(2)|x|＋|y|＋|z|≦21を満たす整数の組(x，y，z)の個数は？[準備]自然数の組の個数x＋y＋z≦nを満たす自然数の組(x，y，z)の個数は、◯|◯|◯|……|◯|のように、ｎ個の◯|を並べ、３個の|を選び、左からa，b，cとし、aより左の◯の数をx，bより左の◯の数をx＋y，cより左の◯の数をx＋y＋zとすればよい

[1766]整数解の個数(1)|x|＋|y|＋|z|＝21を満たす整数の組(x，y，z)の個数は？(2)|x|＋|y|＋|z|≦21を満たす整数の組(x，y，z)の個数は？★解答説明はこちらをご覧ください。

[答1758]２次方程式の整数解ｋを－2≦k≦2の範囲の定数として、２次方程式x2－2(4k＋9)x＋(247k－263)＝0の整数解となり得るｘの個数は？例えば、x＝0はこの２次方程式のk＝263/247のときの解ですので適します。[解答1]２次方程式の解は、x＝(4k＋9)±√{(4k＋9)2－(247k－263)}＝4k＋9±√(16k2－175k＋344)です。ここで、16k2－175k＋344＝16(k－175/32)2－8609/

第2問です。条件から式は立ちますが、そこからがふんばりどころです．(2)はつけたしでしょう．(1)標準，(2)やや易2022の問題のなかでは，もっとも解きやすい問題との評価がされてます．

[答1690]等式を満たす整数の組m2＝13n＋28560を満たす整数の組(m，n)は？[解答]n＜0のとき、左辺は整数で右辺は整数でないので成り立ちません。よって、n≧0です。mod10で、m≡0のときm2≡0，m≡±1のときm2≡1，m≡±2のときm2≡4，m≡±3のときm2≡9，m≡±4のときm2≡6，m≡5のときm2≡5であり、130≡1，131≡3，132≡9，133≡7，134≡1ですので、

[答1689]方程式の整数解m3＋93＝n3＋83を満たす整数の組(m，n)＝？[解答]n3－m3＝93－83、(n－m)(n2＋mn＋m2)＝217＝7･31です。K＝n－m，L＝n2＋mn＋m2とおけば、KL＝7･31，L＝(n＋m/2)2＋3m2/4≧0，(K2－L)/3＝－mn、よって、－m，nはx2－Kx＋(K2－L)/3＝0の解で、判別式はK2－4(K2－L)/3≧0、3K2－4(K2－L)≧0、4L≧K2です。

[1690]等式を満たす整数の組m2＝13n＋28560を満たす整数の組(m，n)は？★解答説明はこちらをご覧ください。

[1689]方程式の整数解m3＋93＝n3＋83を満たす整数の組(m，n)＝？★解答説明はこちらをご覧ください。

2021/01/302015年問題1です。2022/09/16文章の一部を修正しました。難度は問1（標準），問2（やや難）です。【問題1】問1を因数分解せよ。問2等式ととの両方を同時に満たす正の整数の組(p,q,r)をすべて求めよ。問1因数分解できないと何もできない問題なのですが，次の因数分解は教科書でも見かけ

2007年第2問です。共通テストのような文章題です。題意を把握するのに少し時間がかかります。70％難度で【2】（やや易），100％完答難度は【3】（標準）でしょう。2023/07/14文章の一部を修正しました．(1)旭川医科でも整数解の問題はよくみかけます。札医受験生であれば経験済みでしょう。より，となって，右辺＝整数×整数＝±１だから，(2)場合分けして，それぞれの確率を計算します。

解が整数じゃなくても解けるよ-YouTube

[答1382]連立方程式の整数解xy＋z＝106，x＋yz＝29を満たす整数の組(x，y，z)のうち、ｙが最大のものは？また、ｙが最小のものは？[解答]２式を辺々加えるとx(y＋1)＋z(y＋1)＝135、(x＋z)(y＋1)＝135になり、２式を辺々減じるとx(y－1)＋z(1－y)＝77、(x－z)(y－1)＝77になります。従って、y＋1は135の約数で、y－1は77の約数になり、y－1＝－77，－11，－7，－1，1，7，11

[1382]連立方程式の整数解xy＋z＝106，x＋yz＝29を満たす整数の組(x，y，z)のうち、ｙが最大のものは？また、ｙが最小のものは？★解答説明はこちらをご覧ください。

NEW！！計算０．９（数IAIIB）好評販売中です＾＾いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾先日の、格子点の数と極限の問題の解答です。解答（上智大理工2014）解説今回は一格子点の数と極限です。格子点の数というのは、問題文にあるとおり、x、yがともに整数である座標のことです。従って、格子点の数というのは、条件を満たす整数解の個数ということになります。整数解の個数については、こちらの原則に

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾2017年に行われた主要な大学入試数学は、すべてUPし終えることができました。今年から、こちらのサイトでUPしています。さて、2012年から開始して大好評(？)のPieceCHECKを、今年も開始していきます。昨年もかなりたくさんのPieceCHECKをご紹介できましたので、そちらも見てみてください＾＾2017年度の72弾は、格子点の数と極限です。※しばらく数学III（理系専用）となります。文系の方

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾今年、2017年に行われた主要な大学入試数学は、すべてUPし終えることができました。今年から、こちらのサイトでUPしています。さて、2012年から開始して大好評(？)のPieceCHECKを、今年も開始していきます。昨年もかなりたくさんのPieceCHECKをご紹介できましたので、そちらも見てみてください＾＾2017年度（2017年３月～2018年２月ごろまでとします）の第３弾は、円錐の表面積の最小値です。PieceC

●センター試験過去問の解説です。解き終わってから見てくださいね＾＾いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾センター試験が近づいてきましたので、センター試験の過去問を題材に解説をしていきます。※問題については、お手元の過去問集や、各種予備校のサイト、大学入試センターのHPなどから入手できますので、そちらをご覧下さい＾＾おそらく、センター試験の過去問の解説やサイトの中で、最も「リアルな」解説になると思います。【2016年数学IIB追試第３問数列】

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾先日の、１次不定方程式の整数解の問題の解答です。解答（明治大理工2013）解説今回は１次不定方程式です。教科書でも扱われている内容のため、入試では多少ひねられたものが出題される傾向にあります。本問では、５x＋１１yで表すことのできる整数について聞いています。すなわち、５x＋１１y＝nとなる（x、y）が存在するのか、しないのかに関する議論です。前半は、小さい方から順に数えていくし

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾2012年から開始して大好評(？)のPieceCHECKを、今年も始めていきます。2016年第66弾のPieceCHECKは、１次不定方程式の整数解です。PieceCHECK2016-66思考時間は10分、解答はそこから20分とします。全部で30分弱ぐらいで解答できればOK。ヒント：（１）素直に数えたほうがよさそうですね。（２）「全て」

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾先日の、方程式の有理数解の問題の解答です。解答（日本獣医生命科学大2013）解説今回は方程式の有理数解です。前回とタイトルは同じですが、用いる手法は全然違います。ヒントに書きましたように、因数定理の代入候補（下の原則を参照）を考えることが本問の本質となります。なぜ、代入候補が絞られるのかについての証明ができれば、そのまま今回の解答につながると思います。PrinciplePie

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾2012年から開始して大好評(？)のPieceCHECKを、今年も始めていきます。2016年第65弾のPieceCHECKは、方程式の有理数解と整数解です。PieceCHECK2016-65思考時間は10分、解答はそこから15分とします。全部で20分強ぐらいで解答できればOK。ヒント：因数定理を用いる際に代入する「候補」がありますが、

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾先日の、方程式の整数解の問題の解答です。解答（一橋大2013【後期】）解説今回は方程式の整数解です。一橋大の整数問題を取り上げました。本学は良問の整数問題を多く出しています。整数であることから何が言えるか、といったセンスの問われる問題です。（１）は、ただ差を取れば簡単に証明できますので、こちらはいいでしょう。中辺と右辺については、条件式が使える形にするために2乗しています。√がついてい

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾2012年から開始して大好評(？)のPieceCHECKを、今年も始めていきます。2016年第64弾のPieceCHECKは、方程式の整数解です。PieceCHECK2016-64思考時間は15分、解答はそこから20分とします。全部で30分ぐらいで解答できればOK。ヒント：（１）をうまく利用して候補を絞る必要があります。関連