余弦定理

2013年東京大学・理科数学第４問こんにちは、ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『……代数学を学ぼうとする者にとっては,一つの問題を四つの異なる方法で解く方が,異なる三つ四つの問題を解くよりも,ためになることがよくある.一つの問題を別々の方法で解いてみると,比較によってどれが簡潔で能率的な方法であるかを明らかにすることができる.そ

図形問題を出題するよ。等脚台形ABCDがあり、AD//BC、AD＜BC、AB＝DC＝7、∠ABC＝∠DCB＝60˚、AB上の点Pは、AP=4、BP＝3、∠DPC＝60˚のとき、三角形DPCの面積を求めよ。高校生以上を想定しています。シンキングタ～イムなんか画期的な方法を思い浮かばないので、ゴリゴリと3つの余弦定理で連立方程式を解くことにする。AD=xとおくと、BC＝x＋7、PD＝y、PC＝z、とでもしましょうかね。cos(60˚)＝1

どうも、前世がブロッコリーのキューマちゃんです。さて、久々に始まりました、真面目になる会。どういう理由があってこのシリーズを始めたのか全く覚えてませんがいいでしょう、多分。(多分！？)さぁ、冗談は置いといて今回は私が最も面白いと感じている学問、数学について語っていきたいと思います。と言いましても、「この定理はこういう所が美しいんだ」などのガチガチに真面目な語りは流石にできませんので、数学について語るとは言っても特に私が好いている数学の分野について、基本的には語っていくと思って下さい。で

2018年南山大学・文系数学第１問おはようございます，ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは，まずは偉人の言葉からです『数学はいつでもどこでも気がつけば先におりときどき,生活から遊離しているだの,抽象的だの,無味乾燥だのと非難嘲笑を浴びながら,人知のために新しい道を切り開いてきた．』（S・ソボレフ，ロシアの数学者）本日の下の問題は,文系の問

東京薬科大学・生=推薦(2025年)余弦定理の証明、どの教科書にも出ている。恥ずかしながら、俺は余弦定理の証明をスルーしてきた。これは丁度良い機会だ。最初に思いついたのが、内積の利用。理由は、|b||c|cosθが内積に似ていたから。俺の答え

2020年関西大学・全学理系数学第Ⅰ問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『……数学の命題の重要な意味を理解する能力は,この学問に長年従事した後に初めて生み出される．』（Ｇ・ハーディ,イギリスの数学者,1877-1947）それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。（問題）

[答2107]外心と長さBC＝√6，CA＝1，AB＝2である△ABCの外心をOとし、AOとBCの交点をDとするとき、ADの長さは？[解答1]∠BAC＝θとおくと、余弦定理より、cosθ＝cos∠BAC＝(22＋12－6)/(2･2･1)＝－1/4、sinθ＝√(1－cos2θ)＝√(1－1/16)＝(√15)/4です。外接円の半径はOA＝OB＝OC＝BC/(2sinθ)＝2BC/(4sinθ)＝(2√6)/√15＝(2√2)/√5であり、△AB

(1)辺ACの長さ、cosCの値を求めよ②辺AB、AC上にそれぞれの点P.Qをとって線分PQを折り目として折ると頂点Aが辺BCの中点Mと重なった。このときAM、MP.MQの長さを求めよ-YouTubeYouTubeでお気に入りの動画や音楽を楽しみ、オリジナルのコンテンツをアップロードして友だちや家族、世界中の人たちと共有しましょう。youtu.be---------------------------------------個別指導でできることノートチェックケアレスミスの

2019年常葉大学・奨学生入試数学第２問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『幾何学は論理的判断の最も完成された実例となっている.』（ボクル，イギリスの歴史学者で社会学者）それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。（問題）（※時間の目安）（１）３分（２）２分（３）５分

こんにちは、高校生に数学を教えているA.Aです。今回は正弦定理と余弦定理を覚えることの重要性について話したいと思います。数学をやっている高校生の多くがつまずくのが三角比でその中でも難しい公式が正弦定理と余弦定理になります。私は、この時期の高校１年生には何回もこれらの公式を覚えるように言っています。（このブログでも毎年言っているような気がします。）これらの公式は三角比の単元だけでなく、高校２年生の三角関数でも当然のように使われます。そもそも、三角比の中で解く問題も正弦定理、余弦定理が使え

4step287.OABCにおいてSinASAB.Sinc1381最も大きい角の大きさALA+49-169COSA782.8.7CosA--561313C=2-8.72)最小さい角の正接tanhttps://youtu.be/A5rKgfRfw84?feature=shared---------------------------------------個別指導でできることノートチェックケアレスミスの減らし方最短の解き方英単語の覚

図形問題を出題するよ。図のように正六角形と正方形が同じ底辺を共有しており、底辺の左端を中心とし、正方形の斜辺を半径とする円を描き、その弧が正六角形の1辺を分断したところ短い方の長さが1でした。長い方の長さxを求めよ。シンキングタ～イム1辺の長さをx＋1として、補助線を引いてみる。円の半径は等しいので、図の赤線の長さは、(x＋1)√23辺の長さと1つの内角が120˚と解るので、余弦定理で立式すると、((x＋1)√2)2＝(x＋1)2＋x2

4step285△ABCにおいて次のものを求めよShB(3)A:B:C=5:4:3A:BC=5:43x7A,B,C,bicSib:csinB:sinchttps://youtu.be/4ZSBZZKOMBM?feature=shared---------------------------------------個別指導でできることノートチェックケアレスミスの減らし方最短の解き方英単語の覚え方アドバイスなどなど個別指導ならではの事がたく

図形問題を出題するよ。図のように、4つの正三角形が接しているとき、ピンクの正三角形の面積xを求めよ。シンキングタ～イム正三角形の面積が、ブルーは20、グリーンは5と解っていて、ピンクの面積を求めたいわけだが、面積から辺の長さをいちいち計算することは面倒である。辺の比がわかれば良いので、ここは簡単に考えて、ブルーの1辺は√20、グリーンの1辺は√5として、ピンクの1辺は√xとする。3つの白い三角形は合同なので、ここを余弦定理で立式すると、x＝20＋

図形問題を出題するよ。図のように、三角形ABCと、AB上の点P、AC上の点Rは交差し、BCとはQで接する円がある。AB＝9、BC＝13、AC＝20、RC＝5のとき、PRの長さを求めよ。シンキングタ～イム先日の問題の類似問題ですね。正三角形だったところが、正三角形ではなく三角形になっています。それに伴って、3辺の長さが示されているということになるのでしょう。補助線は不要そうなので、やれることをやりましょうか。CQ＝cとして、方べきの定理を適用すると

図形問題を出題するよ。図のように、正三角形ABCと、AB上の点P、AC上の点Rは交差し、BCとはQで接する円がある。PB＝9、RC＝4のとき、PRの長さを求めよ。シンキングタ～イム補助線は不要そうなので、やれることをやりましょうか。BQ＝b、CQ＝cとして、それぞれ方べきの定理を適用すると、(b＋c)×9＝b2⇒b＋c＝b2/9(b＋c)×4＝c2⇒b＋c＝c2/4より、b2/9=c2/44b2＝9c2(2b)2＝(3c)2

第4問です＊）図形の対称性を利用すると，計算量が少なくて済みます．座標をまともに設定し，2点間の距離を計算してみました．＊）K標準，T標準の評価です．北大文系やや難，北大理系標準のレベルです．

㉛【三角形の性質（辺と角）①】今回から三角形の性質について考えます。三角形は辺と角から構成されています。辺と角の関係について考えてみましょう。三角形は3つの内角、3辺から成り立っています。内角の関係式はA+B+C=180°辺と角の関係について。基本の関係式を導きましょう。この３式を連立する。①式は余弦定理です。A＝９０°のとき①式は三平方の定理となる。では、①式を三平方の定理から導いてみましょう。さら

2021/02/202022/09/21文章の一部を修正しました．問1（標準），問2（標準）です．問2は問1を利用することに気づけばですが．2023/08/11文章の一部を訂正しました．2025/07/29解答に必要な基礎事項を補足しました．問1図のようにθ，lをとります。△ABP，△ACPに余弦定理をそれぞれ適用すると，よって，（Ⅰ）

図形問題を出題するよ。図のように、正三角形ABCがあり、BC上に点P、Qがあり、三角形ABPの面積が5、三角形AQCの面積が16のとき、三角形APQ＝xの面積を求めよ。高校生以上を想定しています。シンキングタ～イム高校生以上を想定していることから、三角関数を使うってことがバレてしまうだろう。補助線の引き方はいろいろとあるが、ブルーのエリアをグリーンの隣に来るようにAを軸に回転させて、赤線のように引く。APQとAQRはAQを軸に

図形問題を出題するよ。図のように、正九角形ABCDEFGHIがあり、ADを結びAから辺の長さの点Pを取る。∠DPE＝θ˚を求めよ。シンキングタ～イムさて、この問題、作問して置きながら、どの学年なら解けるのかを考え倦ねていた。ふと閃いたら、小学生でも十分に解ける問題であることが解りました。例えば、三角関数を覚えた高校生が、1辺の長さを1として、補助線PCを引いて、PC＝1であることから、PD＝a、PE＝b、とおいて、余弦定理を使って、

図形問題を出題するよ。図のように、1辺が2の正六角形ABCDEFに、BCの中点をM、DFの中点をNとしたとき、三角形AMNの面積を求めよ。中学生以上を想定しています。シンキングタ～イムさて、この三角形の理解度を増すための補助線を引いてみます。MA＝MDは対称性から明らか。BNとCDは平行で、MD＝MNであることも解り、MA＝MNということが解ります。中学生は、MDの方が求めやすいだろうか。CD＝2、BN＝3より、二等辺三角

2021/02/232022/09/23文章の一部を修正しました．問1（易），問2（標準），問3（やや難）です．2025/07/08解答に必要な基礎事項を補足しました．△PABと△PBCの相似比は2：3だから，BP＝6xとおくと，AP＝4x，CP＝9x△PBCに余弦定理を適用し，よって，問3p,qを実数として，とおく。ここで，3辺の長さが求められたので，

[答2034]四角形と対角線四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとし、辺DA上にDQ＝DPを満たす点Qをとります。CD＝1，∠ABD＝70ﾟ，∠DBC＝40ﾟ，∠CDB＝∠BDA＝60ﾟのとき、∠DAC＝？また、△BDQの面積は？[解答1]△ABDで正弦定理より、AD：BD＝sin70ﾟ：sin50ﾟ＝cos20ﾟ：cos40ﾟ、△BCDで正弦定理より、BD：CD＝sin80ﾟ：sin40ﾟ＝2sin40ﾟcos40ﾟ：sin40ﾟ＝2cos40

図形問題を出題するよ。図のように四角形ACEGに内接円と外接円が描かれている。それぞれの面積を求めよ。高校生以上を想定しています。シンキングタ～イムさて、どこから手を付けて、どこから求めましょうか。∠Aと∠Eは円に内接していることから、対角の和が180˚である。また、B、D、F、Hは内接円の接点である。内接円の半径を使って、2つの赤枠黄色の凧形（両翼が直角の凧形/RightKite）を描いてみると、これらは相似であることが解り、

図形問題を出題するよ。図のように、4つの正方形が頂点を共有しており、グリーンの正方形の面積は25、ブルーの正方形の面積は9のとき、4つの正方形の総面積を求めよ。高校生以上を想定しています。シンキングタ～イムこんな適当な設定なのに、総面積が求まるの？と思ったかもしれない。高校生以上向けなので、三角関数を使って示します。使うのは余弦定理ですね。c2＝a2＋b2－2ab・cos(C)中学生が見ると、三平方の定理に何かが加わったように

質問にお答えします大谷選手、第５打席第11号ホームラン飛距離130ｍナ・リーグ２位に浮上頑張れ、大谷選手おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『幾何学の課題を解く技術は,どこやら,手品師のトリックを思い出させる――解がわかっていながら,どのようにしてその結論に達したのか,理解しにくいことがよくある．』

第4問です＊）KY易，STやや易の評価です．2025のセットは軽量です．＊）北大文理共通やや易のレベルです．

中学生でも解ける大学入試問題!!(7)(易)おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『……幾何学的図形ほどやすやすと脳に知覚されるものはない.』（R・デカルト,フランスの哲学者で数学者,1596-1650）それでは，最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください2019慶應義塾大学・経済（

2021年新潟大学・医,理(前期)数学第５問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんの健闘を心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『幾何学とは本格的な自然科学であり,他と違うのは,どれよりも簡潔で,したがってまた完成されていることだけである.数学的な分析を用いるのを認めているからと言って,幾何学が観察によらない純粋に論理的な学問だと考えるべきではない.