トレミーの定理

2011年旭川医科大学・医(前期)数学第１問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『過去のつみかさねがどれだけ大事なものかは,感じています。それがなければ,今の技術や精神は作られなっかたのですから.』（鈴木一朗，日本，1973-）それでは最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください

数学的思考に目覚める会話7－4トレミーの定理❹（複素数）こんにちは。ヨッシーです。私は長年数学教師をしておりました。現在はフィリピンで日本語を教えております。中学校のとき、三平方の定理を習いました。この定理にはいろいろな証明があります。これに驚きました。結果は一つでも考え方は無数にある。自由に考えてよいのだ。数学的思考の魅力に触れた瞬間でした。今回扱うトレミーの定理は円に内接する四角形の定理です。辺の長さと対角線の長さの美しい関係式です。この定理にはどんな秘

数学的思考に目覚める会話7－3トレミーの定理❸（微分法の利用）こんにちは。ヨッシーです。私は長年数学教師をしておりました。現在はフィリピンで日本語を教えております。中学校のとき、三平方の定理を習いました。この定理にはいろいろな証明があります。これに驚きました。結果は一つでも考え方は無数にある。自由に考えてよいのだ。数学的思考の魅力に触れた瞬間でした。今回扱うトレミーの定理は円に内接する四角形の定理です。辺の長さと対角線の長さの美しい関係式です。この定理にはどんな

数学的思考に目覚める会話7－2トレミーの定理❷こんにちは。ヨッシーです。私は長年数学教師をしておりました。現在はフィリピンで日本語を教えております。中学校のとき、三平方の定理を習いました。この定理にはいろいろな証明があります。これに驚きました。結果は一つでも考え方は無数にある。自由に考えてよいのだ。数学的思考の魅力に触れた瞬間でした。今回扱うトレミーの定理は円に内接する四角形の定理です。辺の長さと対角線の長さの美しい関係式です。この定理にはどんな秘密が隠されてい

[答1962]四角形の面積次の場合、∠B＝∠D＝90ﾟ，AB＝BC，BD＝6＋√2である四角形ABCDの面積Sは？(1)AB＝BC＝5のとき(2)AB＝BC＝7のとき[解答0]四角形ABCDは円に内接し、ACは直径ですので、BD≦AC＝AB√2、BD/√2≦ABになり、∠A≧90ﾟまたは∠D≧90ﾟ、BD＞ABまたはBD＞BC、よって、BD＞ABです。よって、BD/√2≦AB＜BD、(6＋√2)/√2≦AB＜6＋√2、√18

2000年京都大学・理文共通数学第１問おはようございます，ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは，まずは偉人の言葉からです『すべての科学に数学の鋭敏さと正確さをできるだけ取り入れたいものだ.そう思うのは,これによって物事がよりよくわかるからではなく,われわれ人間の物事に対する態度をしっかり定めたいためである.数学は人間の共通かつ根本的な知識のための手段に

2000年京都大学・理文共通数学第１問おはようございます，ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは，まずは偉人の言葉からです『すべての科学に数学の鋭敏さと正確さをできるだけ取り入れたいものだ.そう思うのは,これによって物事がよりよくわかるからではなく,われわれ人間の物事に対する態度をしっかり定めたいためである.数学は人間の共通かつ根本的な知識のための手段にほかなら

[答1902]正二十面体と球１辺の長さが2である正二十面体に外接する球の半径Ｒは？また、内接する球の半径ｒは？[解答]正二十面体の１本の辺と中心に関して対称な辺を２辺とする四角形に着目すれば、どの頂点も中心からの距離(外接する球の半径)が等しいので、この四角形は長方形です。短い方の辺は2であり、長い方の辺をxとすれば、xは１辺の長さが2である正五角形の対角線の長さで、トレミーの定理より、x2＝2x＋22、x2－2x＝4、(x－1)2＝

[答1893]四角形の面積四角形ABCDが、AB＝√6，∠A＝60ﾟ，∠B＝∠D＝90ﾟで、対角線ACとBDが60ﾟの角をなすとき、この四角形ABCDの面積Sは？[解答1]a＞0，k＞0として、座標平面上でB(0，0)，A(0，a)，C(ak，0)とします。CDは傾きが√3だから、y＝(√3)(x－ak)、y√3＝3(x－ak)で、ADは傾きが－1/√3だから、y＝－(1/√3)x＋a、y√3＝－x＋a√3です。Dの座標を求めるのに

2024年青山学院大学・全学文系数学第Ⅱ問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんの健闘を心より応援しておりますそれでは，まずは偉人の言葉からです『……数学――それはなるべく計算を避けるための技術だと言える.』(B・マクミラン，アメリカの数学者)今回の下の問題,(1),(2),(3)は直ちにですが,(４)をどう攻略するか…ですねそれで

世の中には外部から見ると同じような職業に見えるけれど全く違う職業があります。大学の先輩と後輩で私を含めて3人の人間が集まって話をしていました。一人は先輩で弁護士です。仮に品川先輩としておきます。もう一人は有名大学の数学者で理学博士を取っている渋谷後輩とします。品川先輩が私に言われました。「お前は数学の問題でわからない問題があったら渋谷君に教えてもらいに行くのか？」とんでもありません。私に解けない問題があったら渋谷君に解けるはずがありませんと答えました。これはどうい

[答1865]正五角形と長さ正五角形ABCDEとその外接円があり、劣弧AB上に点Pがあります。PC＋PE＝12のとき、PA＋PB＝？[解答1]∠PAB＝∠PCB＝α，∠PBA＝∠PEA＝β，外接円の半径をRとします。弧PB＋弧PA＝弧ABの円周角は36ﾟですので、α＋β＝36ﾟです。△PEAで正弦定理よりPA＝2Rsinβ，PE＝2Rsin(108ﾟ＋α)、△PBCで正弦定理よりPB＝2Rsinα，PC＝2Rsin(108ﾟ＋β)

2023年関西医科大・医数学第Ⅱ問おはようございます。ますいしいです今朝は一段と寒い厳しい一月です下記のブログも御参照ください<(__)>2018年熊本大学・教育(前期)数学第２問|ますいしいのブログ(ameblo.jp)それでは，最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください（問題）（※ピッチクロック）（１）３分（２）５分（３）２分（４）

2023年近畿大学・医数学第３問おはようございます。ますいしいです一段と寒い朝です厳しい一月です下の問題(２)で,対角線BDの長さも求めてみてください<(__)>それでは，最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください（問題）（※ピッチクロック）(1)６分(2)４分Elementarygeomet

午後のひとときに、図形問題を作問したので、解いてみるよ。図のように半円があるとき、直径を求めよ。中学生以上向けです。シンキングタ～イム今回の問題、いろいろな解き方を考えてみました。とりあえず2通り思いついたので、それらを紹介してみる。補助線は、これくらい引けば十分だろう。ACを引いてもいいけれども、今回は使わないので引きませんでした。∠ADBは直径の円周角なので直角ですね。三角形ODCと三角形OCBは3辺が等しいので合同なことから、

2011年旭川医科大学・医(前期)数学第１問おはようございます。ますいしいです今朝は曇りどんよりとした、寒い１２/１(金)の朝ですそれでは、まずは偉人の言葉からです『過去のつみかさねがどれだけ大事なものかは，感じています。それがなければ，今の技術や精神は作られなっかたのですから。』（鈴木一朗，日本，1973-）それでは最初は解答を見ずにチャ

[答1815]円に内接する四角形図のように、円に内接し面積が84である四角形ABCDがあります。AC⊥BD，CD＝1，DA＝10のとき、(AB，BC)＝？また、この円の直径は？[解答1]xy平面上でAC，BDの交点を原点、A(0，a)，B(－b，0)，C(0，－c)，D(d，0)とします。(ただしa＞0，b＞0，c＞0，d＞0)AD2＝a2＋d2＝100，CD2＝c2＋d2＝1、よって、d2＝1－c2、a2＝99＋c2です。四角形

午後のひとときに、図形問題を解いてみる。問題図のように円に内接する短辺1、長辺2の長方形と、正方形がある。xを求めよ。高校生、中学生向けです。シンキングタ～イム今回も補助線を引くんだけれども、これだけで十分かなと思う。解法は2通り思いついた。まずは、三角関数を使った解法で解いてみる。赤線、つまり円の直径は、三平方の定理より、√5直角二等辺三角形の短辺は、√5√2＝√102これは良いだろう。xを弦として、円

午後のひとときに、図形問題を解いてみるよ。問題図のように、円に3つの弦が引かれている。xを求めよ。高校生向けです。シンキングタ～イム今回の問題は、補助線を引くとしたら、こんな感じかな。青線の長さは余弦定理で求まる。c2＝102＋122－2・10・12・cos(60˚)c2＝100＋144－120＝124c＝2√31続いて赤線の長さだが、円に内接する四角形の対角の和は180˚より、60˚の対角は120˚となり、赤線を弦

皆様，おはようございます。昨日は我が塾有数のとっ散らかりっ子が，数学の公式証明にのめり込むのを目の当たりにしました。正直，指導者として良いものを見せてもらったと思っています。三角比を学んでいました。徐々に内容が進んでいき，初等幾何の「トレミーの定理」内容を以下に貼り付けておきます。おいしい数学トレミーの定理|おいしい数学出典：「おいしい数学トレミーの定理」より公式の証明の途中で，実は文字が六つほど出てき

ちょっと解いてみました!!(求積)(難)大谷選手,第一打席,42号ホームラン凄いもう一本頑張れ,大谷選手“どべ”様より頂いた素晴らしい解法を少しアレンジして“解答”を作成してみました“どべ”様,素晴らしいアイデア,ありがとうございました<(__)>それでは、まずは偉人の言葉からです『数学的

2018年熊本大学・教育数学第２問おはようございます。ますいしいです今朝は雨台風7号の影響で物凄い湿度の高さですね今日も不快指数ＭＡＸです大谷選手、昨日は超特大137m弾41号決勝ホームラン痺れました今日も42・43号と2本のホームランを期待したいと思います頑張れ,大谷選手それでは，まずは偉人の言葉からです『……代数学を学ぼうとする者にとっては,一つの問題を

2020年近畿大学・医(後期)数学第２問おはようございます。ますいしいです今朝は曇り朝から、じめじめ蒸し暑い台風のせいでしょうか、今日も不快指数ＭＡＸです大谷選手,エンゼルス7連敗は,きついですね今日は41号を期待したいと思います頑張れ,大谷選手それでは，本日もまずは偉人の言葉からです『幾何学者は難しい証明の中で,ごく簡単でわかりやすい推論の長い鎖を用いる習慣

2020年東京工業大学・理類数学第２問おはようございます。ますいしいです今朝は曇り朝から、じめじめ蒸し暑い台風のせいでしょうか、今日も不快指数ＭＡＸです大谷選手,エンゼルス7連敗は,きついですね今日は41号を期待したいと思います頑張れ,大谷選手それでは、本日もまずは偉人の言葉からです『公式は黙っているだけで眠ってはいない.』（Ｆ・クラ

2023年北九州市立大学・経済数学第３問おはようございます。ますいしいです今朝も晴れ晴れた朝は気持ちが良い大谷選手,今日も３番DHでスタメンエンゼルス,直近６試合,５勝１敗と好調です頑張れ,大谷選手それでは、まずは偉人の言葉です『幾何というのは,下手に描かれた図に基づいて,上手に推論する技術である.』（N・アーベル,ノルウェーの数学者,

[答1744]正五角形の１辺正五角形ABCDEで、辺BC上に点Fを辺AE上に点Gを、BF＝13，AG＝10になるようにとります。線分FG，対角線AD，対角線BEが１点で交わるとき、正五角形ABCDEの１辺の長さは？[解答1]正五角形の１辺をａとします。座標平面上で、B(0，0)，C(a，0)，F(13，0)，P(a･cos72ﾟ，a･sin72ﾟ)，A(－a･cos72ﾟ，a･sin72ﾟ)，G(－a･cos72ﾟ＋10cos36ﾟ，a･sin72ﾟ＋10

[答1730]三角形と重心AB＝5，AC＝3の△ABCの重心をG，ABの中点をM，ACの中点をNとします。A，M，G，Nが同一円周上にあるとき、cos∠A＝？また、BC/AG＝？[解答1]一般化し、AM＝3b，AN＝3cとし、cos∠Aを単にcosAと表します。座標平面上で、A(0，0)，M(3b，0)，N(3c･cosA，3c･sinA)とすれば、B(6b，0)，C(6c･cosA，6c･sinA)，G(2b＋2c･cosA，2c･sinA

[答1725]中線と三角形の面積AB＝13，AC＝10の△ABCがあって、中線AMと辺BCのなす角が45ﾟのとき△ABCの面積は？また、△ABCの重心をGとするとき、GB2－GC2＝？図は不正確です。[準備]AM＝a√2，BM＝CM＝b，AからBCにおろした垂線をAHとすれば、AH＝a，BH＝b＋a，CH＝b－aになり、AB2＝AH2＋BH2＝a2＋(b＋a)2＝2a2＋2ab＋b2、AC2＝AH2＋CH2＝a2＋(b－a)2＝2a2

2011年旭川医科大学・医(前期)数学第１問それでは、まずは偉人の言葉からです『過去のつみかさねがどれだけ大事なものかは,感じています。それがなければ,今の技術や精神は作られなっかたのですから.』（鈴木一朗，日本，1973-）それでは最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください（問題）（※時間の目安）（１）５分（２）１０分

2007年新潟大学・文系(前期)数学第４問それでは，まずは偉人の言葉からです『幾何学とは本格的な自然科学であり，他と違うのは，どれよりも簡潔で，したがって完成されていることだけである．数学的な分析を用いるのを認めているからといって，幾何学が観察によらない純粋に論理的な学問だと考えるべきではない．』（Ａ・コント，フランスの哲学者，1798-1857）それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。