チェビシェフの多項式

『正n角形を作図出来るか否か-正十九角形-』前回からの続き。正十九角形は、定規とコンパスによる作図は出来ないが、折り紙による作図は出来る。正19角形は9次方程式の解を必要とする。まずは、9次方程式…ameblo.jp正十九角形は、定規とコンパスによる作図は出来ないが、折り紙による作図は可能である。x＝2cos(2π/19)とおくと、x9＋x8－8x7－7x6＋21x5＋15x4－20x3－10x2＋5x＋1＝0…(1)これが、正19角形を折り紙で折るために

前回からの続き。正十一角形は、定規とコンパスによる作図も、折り紙による作図も出来ない。正11角形は5次方程式の解を必要とする。まずは、5次方程式を導くところから。1/2＋cos(2π/(2n＋1))＋cos(4π/(2n＋1))＋…＋cos(2nπ/(2n＋1))＝0この式において、2n＋1＝112n＝10n＝5なので、1/2＋cos(2π/11)＋cos(4π/11)＋cos(6π/11)＋cos(8π/11)＋cos(10π/11)＝0θ＝2

前回からの続き。正十九角形は、定規とコンパスによる作図は出来ないが、折り紙による作図は出来る。正19角形は9次方程式の解を必要とする。まずは、9次方程式を導くところから。1/2＋cos(2π/(2n＋1))＋cos(4π/(2n＋1))＋…＋cos(2nπ/(2n＋1))＝0この式において、2n＋1＝192n＝18n＝9なので、1/2＋cos(2π/19)＋cos(4π/19)＋cos(6π/19)＋…＋cos(18π/19)＝0θ＝2π/19と

前回からの続き。正十七角形は、定規とコンパスによる作図も、折り紙による作図も、可能である。天才ガウス少年は、cos2π17＝－116＋√1716＋√34－2√1716＋√17＋3√17－√34－2√17－2√34＋2√178このような式から、定規とコンパスによる作図が可能なことを証明したらしい。正17角形は8次方程式の解を必要とする。まずは、8次方程式を導くところから。1/2＋cos(2π/(2n＋1))＋cos(4π/

前回からの続き。正十七角形、正十九角形は、手数も多く説明も面倒なのと、現実の折り紙で折るにも気を使って折っても正確性に欠けてしまうので、その前にやっておきたいことがある。それは、正三角形、正四角形（正方形）、正五角形から、角の二等分、角の三等分で、正"合成数"角形を折るということです。今回は正十角形までを網羅することです。そこまで出来たら、角の二等分で正二十角形まで出来るので、おそらくもう充分でしょう。まずは正三角形から。折り方について、特に難しいとこ

前回からの続き。正13角形は6次方程式の解を必要とするのに、折り紙で作図出来てしまうのはなぜか？この疑問を解いていこう。まずは、6次方程式を導くところから。1/2＋cos(2π/(2n＋1))＋cos(4π/(2n＋1))＋…＋cos(2nπ/(2n＋1))＝0この式において、2n＋1＝132n＝12n＝6なので、1/2＋cos(2π/13)＋cos(4π/13)＋cos(6π/13)＋…＋cos(12π/13)＝0θ＝2π/13とおくと、

数学の世界で正n角形を作図出来るか否かを論じることがある。ここでいう作図は、直線を引くことしか出来ない定規と、円を描くことと線分を保持することしか出来ないコンパスだけを使い、有限回の操作で作図出来るか？ということになる。よくあるのが、「定規とコンパスを使って～」はちょっと端折り過ぎかなとは思っている。あとで説明するが、このnはとりあえずは奇素数に限定することとする。この判定として簡単な判別式がありまして、22a＋1＝naは非負整数で、nが素数となれば、正n角

2020年上智大学・理工数学第１問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『自然科学と数学に貫かれた科学的世界観は,現在だけでなく将来においても最大の力である.』（Ｖ・ヴェルナドスキー,ロシアの地球化学者,鉱物学者,1863-1945）今回の下の問題は,うまく誘導に乗って解き進め

1996年京都大学・文系(後期)数学第1問おはようございます。ますいしいです受験生の皆さんを心より応援しておりますそれでは、まずは偉人の言葉からです『…代数学を学ぼうとする者にとっては,一つの問題を三つの異なる方法で解く方が,異なる三つ四つの問題を解くよりも,ためになることがよくある.一つの問題を別々の方法で解いてみると,比較によってどれが簡潔で能率的な方法であるかを明らかにすることができる.』

京都大学・文(1964年)この手の問題は、古い時代の難関校によく見かける。ブームがあったのかも。普通にやると場合分けが大変。俺の答え―――――――――――――――f(x)=y₁−y₂、とおく。f(x)=x²−ax−b交代定理(等振動定理)より、区間[0,2]で、f(0)=−f(1)=f(2)=Mが最大値となるf(x)が題意だから、f(x)=(x−1)²−1−b、となり、a=2。f(0)=−f(1)より、−b=−1+2+b、で、b=−1/2(最大値の

東京大学・文理(1977年)ミニマックス原理の、初級問題。最近はあまり見かけないが、筑波大学では30年以上の時を経て、平成末期しれっと復活出題しているから、油断ならない。それでは、ロシアの天才チェビシェフ由来の華麗な手法をどうぞ。俺の答え⚠冒頭の3次関数。f₀'(x)=0よりx=±√kf₀(-1)=f₀(k)、f₀(1)=f₀(-k)となるk。つまりk=1/4これが題意のkになることが知られている。(交代定理)⚠末尾のM。M(1/4)=−f₀(−

岐阜大学・理(1977年)今回もミニマックス原理。最大値の最小が1/2を示せ、という事である。古い問題で、当時の時代背景等は不明(流行った?)だが、知らないとかなりキツイ。俺の答えa=0,b=-1/2、と定めた根拠は『知っていたから』。M=1/2となるのは事実なんだから、導出過程を書く必要ない(ハズ)。(知らなければ、前回⑴のように導出すれば良い)他、前問と比較してください。手元に解答が無いので違っていたらゴメンナサイ

2020年上智大学・理工数学第１問大谷選手,2試合連続30号超特大ホームラン飛距離150ｍ超えは今季メジャー最長このペースだと年間60本以上3年連続30本超えは日本人初凄いおはようございます。ますいしいです今朝は曇り朝から蒸し暑い不快指数ＭＡＸですね大谷選手,29号ホームラン月間14本は

1996年京都大学・文系(後期)数学第1問それでは、まずは偉人の言葉からです『…代数学を学ぼうとする者にとっては,一つの問題を三つの異なる方法で解く方が,異なる三つ四つの問題を解くよりも,ためになることがよくある.一つの問題を別々の方法で解いてみると,比較によってどれが簡潔で能率的な方法であるかを明らかにすることができる.』（Ｗ・ソーヤ，イギリスの数学教育学者）それでは，最初は解答を見ずにチ

1996年京都大学・文系(後期)数学第１問(解答・解説)大谷選手、第一打席23号ホームランまだ出るぞ凄い第４打席、２本目24号ホームラン凄いおはようございます，ますいしいです今朝は雨気温も26℃と久しぶりに肌寒いですこんなに涼しいのはいつぶりでしょうそれでは，本日もまずは偉人の言葉からです『…代数学を学ぼうとする者にとっては,一つの問題を三

2020年上智大学・理工数学第１問おはようございます。ますいしいです今朝は快晴今日も終日晴れて雨の心配はないようです富士山もくっきりと見えますお出掛け日和の土曜ですが……コロナが皆さんの御予定はいかがでしょうかそれでは、本日もまずは偉人の言葉からです『自然科学と数学に貫かれた科学的世界観は，現在だけでなく将来においても最大の力である．』（Ｖ・ヴェルナドスキー，ロシアの

午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。京都大学の入試問題として超有名なものとして、「tan1˚は有理数か？」というものがある。tan1˚の証明は出来るが、sin1˚やcos1˚も、同じ手順で出来るのだろうか？まずは、tan1˚の証明方法として、自分が知っている最も簡潔なものを紹介する。tan(1˚)が有理数だと仮定すると、tanの倍角の公式tan(2θ)=2tan(θ)/(1-tan2(θ))の右辺が有理数であることは明白。よって、左辺も有理数である。倍角の公式を繰り返

Youtubeのpasslaboの動画をみていたら、面白い式を紹介していました。cos(3θ)=4･cos(θ)･cos(60˚-θ)･cos(60˚+θ)一般的に、高校で習う3倍角の公式は、sin(3θ)=3･sin(θ)-4･sin3(θ)cos(3θ)=4･cos3(θ)-3･cos(θ)ですよね。この公式は、加法定理を使えば簡単に導くことが出来る。もう少し高度な方法だと、チェビシェフの多項式でも可能。動画では、sin(3θ)、tan(3θ)、も求めてみてねってことだっ

やっと、昔の記事を改修できます。1/3倍角を本気でやると、こうなるよって例です。簡略化のため、1の3乗根を示すωを、複素数平面において偏角が反時計回りに回転するので、ω1=-1+√-32ω2=-1-√-32ω3=ω0=1のように固定して考えます。cos(0˚)=sin(90˚)=+1cos(6˚)=cos(354˚)=sin(96˚)=sin(84˚)=+ω3・∛√10+2√5+√-6+2√5+ω3・∛√10+2√5-√-6+2√5∛

やっと、昔の記事を改修できます。1/3倍角を本気でやると、こうなるよって例です。簡略化のため、1の3乗根を示すωを、複素数平面において偏角が反時計回りに回転するので、ω1=-1+√-32ω2=-1-√-32ω3=ω0=1のように固定して考えます。cos(0˚)=sin(90˚)=+1cos(5˚)=cos(355˚)=sin(95˚)=sin(85˚)=+ω3・∛√6+√2+2√-2+√3+ω3・∛√6+√2-2√-2+√3∛32c

昨日のExcelの検証用に作ったプログラムについて、書いていきます。言語はC言語です。まぁ、前々回、前回とチェビシェフの多項式がなんたるかは解っていらっしゃるでしょうから、いきなりですがソースです。#include<stdio.h>#include<stdlib.h>intmain(){longlongintk[3][101];inti,j;k[0][0]=k[1][1]=1;k[0][1]=k[1][0]=

昨日の記事があまりにもヘヴィーだったので、そこでちょっとだけ触れたチェビシェフの多項式を、Excelを使ってどこまで求まるのかをやってみようかなと思います。使うのはExcelのワークシートで、ワークシート関数でやっていきます。さて、どうなることやら。とりあえず見栄えも考えてブログ貼り付け用です。htmlタグが入りますので、その辺も理解してくださいな。1行目は、項のxのべき乗部分を作ります。B1セルは空白のまま定数項なので、これでokです。C1セルに、xxの指数部分は1だが、1

問題同じ半径を持つ円が3つあり、それぞれの円には正多角形が内接している。3つの正多角形の辺で直角三角形が作れるパターンをすべてあげよ。さて、どうしたものか。最近私の中で使い込んでいるGeoGebraで描いてみる。3つの解を見つけた。正20角形くらいまでしか探してないのだけどね。GeoGebraは超簡単に数学的な図形を描けてしまう。今回の様に、赤の正n多角形、緑の正m角形のように考え、nとmをスライダーで多角形の角数を変化させるということも容易に行える。https://www.g

2018年群馬大学・医数学第３問おはようございます，ますいしいです昨夜は雷雨でしたが、今朝は秋晴れ雪化粧した富士山も、くっきり見えます今日は終日晴れて絶好の行楽日和です皆さんの御予定はいかがでしょうかそれでは，本日もまずは偉人の言葉からです『理論が実際に近づくことはきわめてよい結果をもたらすが，このことから得をするのは実際問題だけではなく，学問そのものもその影響のもとに発展する．それ

1996年京都大学・文系(後期)数学第１問おはようございます，ますいしいです今朝は曇り今日は終日雨との予報です台風１０号が近づいているので天気は下り坂ですこの間、台風が来たばかりなのにまたです…来週の火曜日あたりに上陸しそうです昨日のイチロー選手は、４打数無安打で、ついに打率が３割を切って、．２９８となってしまいましたここ５試合連続先発出場し、３戦無安打に終わっています今日も、対パドレス戦が、８：１０にプレイ