ブログ記事363件
目次0.はじめに1.6価切頂3方4面体とそれから派生する立体5種類2.4面化12面体とそれから派生する立体4種類3.D3h対称性をもつ立体2種類4.樽形の立体3種類5.Th対称性をもつ立体2種類0.はじめに”Near-missJohnsonsolid(FromPolytopeWiki)”に載っている「ニアミス立体」74種類を紹介するシリーズ第4弾です。Near-missJohnsonsolid-Polytope
”Near-missJohnsonsolid(FromPolytopeWiki)”に載っている「ニアミス立体」74種類を解説するシリーズ第3弾です。Near-missJohnsonsolid-PolytopeWiki(miraheze.org)今回は、20面体対称性IhをもつNpw68~Npw74の7種類を紹介します。Ihは正12面体や正20面体のもつ対称性で、位数は120です。ただし、Nqw74はIhではなく、変形12面体と同じI対称性(位
”Near-missJohnsonsolid(FromPolytopeWiki)”に載っている「ニアミス立体」74種類を紹介するシリーズ第2弾です。Near-missJohnsonsolid-PolytopeWiki(miraheze.org)今回は私が「十字切頂多面体」と呼ぶグループ14種類を取り上げます。個別立体の紹介の前に、”Near-missJohnsonsolid(FromPolytopeWiki)”だけのニアミス立体の3分類を紹介
最近、多面体関連で”PolytopeWiki”というサイトを見かけるようになりました。Polytopesは日本語では「多胞体」と訳します。2次元の多角形polygonsや3次元の多面体polyhedraの一般化で、4次元以上の高次元の図形も含みます。もともとのWikipediaとは別のようです。その一つである”Near-missJohnsonsolid(FromPolytopeWiki)”にはこのブログでいう「ニアミス立体」が74種類載っています
また、ネット上で新しいニアミス立体を2種類見つけました。まず画像をご覧ください。長切稜立方体-ゾーン多面体-Wikipediaこちらは「短切頂立方8面体」と名付けます。大菱形切頂八面体-ゾーン多面体-Wikipediaこちらは「切頂斜方立方8面体」と呼ぶことにします。どちらも中川宏さんという方が作成した画像です。ただ、元サイト(日本語wikiの「ゾーン多面体」)の名称「長切稜立方体」と「大菱形切頂八面体」については、私はどちらも全く同意できないの
目次0.はじめに1.1次元と2次元の離散群1-11次元離散群1-2平面(2次元)離散群2.3次元の結晶系と格子3.結晶点群4.結晶点群の行列による表現0.はじめに現代の物質科学(有機化学、無機化学、材料科学、鉱物学等々)では、結晶構造の理解が必要不可欠となっています。結晶とは、物質の状態のうち、同じ原子配列が3次元的に繰り返されているもののことです。同じ原子配列が繰り返していることを、周期性といいます。原子配列
このブログの昔の記事のリンクから次の立体にたどり着きました。Pyritohedralnear-missjohnson-Pentahexagonalpyritoheptacontatetrahedron-Wikipediaこの画像が載っているのは、次の英文wikiのページです。Pentahexagonalpyritoheptacontatetrahedron-Wikipedia展開図(net)も載っています。立体の英名は次の通り。pentahe
球面に投影した正多面体の対称線と赤道1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)-----------------------------------------正多面体から中点切りという操作によってできるのが、準正多面体です。正8面体と立方体からは同じ立方8面体ができ、正20面体と正12面体からは同じ20・12面体ができます。Cuboctahedron-立方八面体-WikipediaIcosidodecahedron-二十・十二面体-W
正多面体と準正多面体を分析する上で有用な概念として、対称線と赤道というものがあります。どちらもコクセターの『正多胞体』に登場し、その書評ですでに簡単に御紹介しました。『正多胞体』1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)4回連載ただ、類似していて混同しやすい点もあるので、今回はこの2つについて丁寧に見ていきたいと思います。最初に、1つの頂点に正p角形の面がq個集まる正多面体{p,q}について、その頂点数N0、稜の数N1、面の数N2を求めておきます。
準正多面体の連続量1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)-----------------------------------立方8面体と20・12面体について、具体的な値を求めます。まず両者に共通する数値です。稜の中点と頂点の距離はO1P1=P0P1=1/2=0.5.正3角形の面心と頂点の距離は、O1P2=P0P2=√3/3≒0.577.正3角形の稜の中点と面心の距離はP1P2=√3/6≒
目次0.はじめに1.準正多面体の基本単体とその稜の長さ2.準正多面体の諸角度3.準正多面体の体積と表面積4.まとめ0.はじめに正多面体(regularpolyhedron)については、以前次の記事でその連続量を求めました。正多面体と基本単体1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)(3回連載)正多面体の連続量とは、体積、表面積、外・中・内接球半径、二面角やそれらを求める基礎となる各部分の長さなどです。(頂
半正タイル貼りのご紹介1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)----------------------------------------3.8種類の半正タイル貼りの解説(承前)8種類の半正タイル貼りの解説を続けます。まず次のサイトの画像をご覧ください。semiregulartesselation-Bing掲載されている8種類のタイル貼りには名称が付いていませんが、左上が前回登場した3・6角形タイル貼りです。他の7種類がどれに対応
目次1.半正タイル貼りとは?2.半正タイル貼りの条件と種類3.8種類の半正タイル貼りの解説4.半正タイル貼りのまとめ1.半正タイル貼りとは?半正タイル貼りについては、以前半正多面体のついでに簡単に触れたことがありますが、ちゃんと取り上げていなかったので、今回丁寧に解説することにします。タイル貼り(tessellation,tiling)あるいは平面充填形とは、平面(2次元空間)を図形で隙間なくまた重なることなく埋め尽くしたものです。
日曜日の小学校の授業参観に引き続き今日は中学校の授業参観です長男中学生になって初めての授業参観入学式でも保護者は教室まで入れず夏休みの三者面談で初めて教室まで行きました夏休み期間は校舎の改修工事中ということもあり長男に案内されつつ高校校舎を通り抜けぐるっと回り道しながら教室へ向かったのですが長男も道に迷ってふたりで迷子(笑)長男の教室へ向かうのは夏の三者面談以来なので無事教室にたどり着ける気は全くしませんでしたが正面玄関の
ねじれ正無限面体1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)-------------------------------------2.ねじれ正無限面体の配置行列ここから3種類のねじれ正無限面体の性質を詳しく見ていきますが、まず性質をまとめた配置行列を示し、その後で解説を行います。PolytopeWiki掲載の画像をご覧になりながらお読みください。・4-6-4正無限面体{4,6|4}Mucube-PolytopeWiki(m
目次1.ねじれ正無限面体とは?2.ねじれ正無限面体の配置行列3.正多面体の拡張としてのねじれ正無限面体以前、ねじれ正多面体あるいは正スポンジと称される空間図形(立体)について、簡単に御紹介したことがあります。整凸多面体などについてもろもろ3|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)「7.正多面体の拡張」の途中から今回は、その紹介を丁寧に行いたいと思います。これには3種類あります。まずどんなものかご自分の目でご確認ください。ねじ
3次元ブロック積みとその配置行列など1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)3次元ブロック積みとその配置行列など2|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)----------------------------------------3.ブロック積みの解説(承前)d.菱形12面体ブロック積みRhombicdodecahedra-空間充填-Wikipedia残念ながらこの画像は拡大できません。半正ブロック積みのうち
3次元ブロック積みとその配置行列など1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)----------------------------------------2.ブロック積みを構成する多面体の紹介(承前)切頂という操作は、正多面体{p,q}の各頂点周りを正多角錐の形に切り落とすことです。ただし、元の稜の一部を残して、新旧の稜の長さが等しくなるようにします。それにより元の正p角形の面{p}は正2p角形となりますが、これはN2枚あります。
目次1.取り上げるブロック積みの定義と範囲2.ブロック積みを構成する多面体の紹介3.ブロック積みの解説1.取り上げるブロック積みの定義と範囲1種類あるいは複数種類の立体で隙間なしに埋め尽くされた空間を空間充填形(くうかんじゅうてんけい、space-filling)といいます。空間というだけだと、3次元空間だけでなく、一般的に2次元以上のn次元空間を意味します。特に、2次元の場合はタイル貼り(tessellation)といいます。同様に3次元以上
少し前に正多面体の配置行列についてご紹介しました。正多面体の配置行列|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)その4次元正多胞体版を考えます。本稿では、まず4次元正多胞体が6種類存在することを示し、それらの基本的な数値(整数値のものに限る)を、4行4列の配置行列の形でコンパクトにまとめることを目的とします。また、合わせて性質のよく似ている3次元正ブロック積み(立方体ブロック積み)も紹介します。実は、このブログでは10年以上前に「4次元多胞体について」
ご訪問、ありがとうございます。気持ちの良い晴れですね。楽しい三連休を過ごされましたでしょうか1週間後。中間テストの1週間前。宿題の数学問題集の締切がやってきます二学期が始まってしばらくは、文化祭準備で忙しく、手つかずだった問題集。9月後半から着々と進め始め、我が家史上では一番良い進捗状況となってきました。代数、幾何ともに、必須問題は一周。代数は、丸つけの後、間違えた問題のやり直しも一周しました。再度丸
コクセターの名著『正多胞体』については、すでにご紹介しました。『正多胞体』1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)ただ、連載4回では私が興味深く感じた内容であっても書ききれなかったものも多々あります。今回ご紹介するのはその一つで、正多面体の配置数という数値から構成される行列です。コクセター自身は「配置行列」という用語は使っていないのですが、配置数からなる行列なので、ここではそのように呼ぶことにします。まずシュレーフリ記号の復習から。正p角形を{
著者が長年行なってきた市民講座の話題を本にまとめたもののようです。2010年出版なのでちょっと古めの話題もありますが、参加費を取って市民講座を行なっているだけあってさすがにどの話題も楽しく読めます。また市民講座だからといって高度な話題を避けると飽きられるということで、ところどころだいぶ高度な話題も散りばめられているのがいいアクセントになっています。個人的には暦の話や時間の話が面白かったのですが聖アウグスティヌスの「時間」に関する告白についての著者のジョークの正解がわからないのが
『正多胞体』1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)『正多胞体』2|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)-------------------------------------「第7章高次元の正多胞体」は、章名の通り本書の山場です。n次元図形(n-thfigure)とは、複数のn-1次元図形から構成され、n次元空間には含まれるが、どんなn-1次元空間にも含まれない図形のことです。ここでは、図形とは弧状連結であるものに限定
『正多胞体』1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)『正多胞体』2|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)-------------------------------------「第5章万華鏡」は変わった章名ですが、鏡映による平面タイル貼り、球面タイル貼り、空間ブロック積みの生成とそれらの情報を集約したグラフを扱っています。対称線あるいは対称面(壁)による鏡映Rは、2回繰り返すと元にもどります。R2=1.2本
『正多胞体』1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)-------------------------------------「第3章回転群」は、図形に関わる群論の紹介にもなっています。以下、このブログ独自の記事ですでに取り上げた内容は省略します。正多面体と群1|宇宙とブラックホールのQ&A(ameblo.jp)正多面体{p,q}の回転群の位数は、2N1です。稜の長さを適切な値に設定することにより、頂点座標が整数となる正多面
数学書の書評です。H.S.M.コクセター著,一松信監訳,岡田好一,日野雅之,宮崎興二訳『正多胞体』丸善数学クラシックス第31巻350頁A5判2022年7月発行正多胞体-丸善出版理工・医学・人文社会科学の専門書出版社(maruzen-publishing.co.jp)副題は「高次元正多面体原論」。「幾何学を救った」現代のユークリッド、20世紀最大の幾何学者と讃えられるコクセター(Coxeter)の主著の第3版を訳したものです。コクセターの
【発想力の一発テスト】できる小学生には一瞬で解けてしまう図形問題【ジュニア算数オリンピック】【難易度:★★☆☆☆】2002年のジュニア算数オリンピックのトライアル問題です。▼重要な解法ポイント①正方形の一辺と長方形の一辺の関係性に着目してみましょう。ここで気づけたら勝ちです。②周の長さが何を表しているのかが分かればもう答えがわかるはずです。気づけると瞬間的に解けてしまう一発の発想力が問われる問題でし...youtu.beこういう動画の解き方をしていては、灘中一日目にはまったく通用しない
前回ご紹介した林真実子さんの縞紋(★)。今回は煉瓦紋と幾何紋をご紹介なんて素敵本来はは蕎麦猪口ですが湯呑み使いが多いです。おやつは赤福。使い勝手がいい大きさなので大根おろし入れたりおかず入れたりアイスクリーム入れたり。万能サイズそしてこちらも使い勝手抜群の15寸。素敵おやつはストラスブルジョア。おやつはメゾン・ド・ハラ。おやつはブ
あと2日で期末考査。なのに!2日後の朝提出する課題終わってないじゃん期末の課題だよ評価に響くよ明日しかやる日ないよ終わんのかーいっはぁ疲れた地理と歴史も課題あるけど終わってんのかーい!はぁ寝よ